Олимпиада для города Москва и Сириус по математике 14 октября 2025 года Скачать полные задания и ответы в телеграмм Ответы к вопросам 7, 8, 9 и 10, 11 класс
7 КЛАСС Вариант 1
№ 1
На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 60 минут, а на поле
одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер
команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени.
Сколько времени каждый игрок должен провести на поле, если количество замен не
ограничено?
№ 2
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 320 см^2. Точка O — центр квадрата,
а точка M — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
№ 3
На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог
нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”>правильный ответ</a>
№ 4
На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут,
встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан.
Иван сказал: «Богдан — лжец!».
Богдан сказал: «Пётр — рыцарь!».
Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Ивана и Антона один человек рыцарь, а другой
лжец».
Антон сказал: «Иван — лжец!».
Кем является каждый из собеседников?
№ 5
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке
равно 2028, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего
записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число
равно – 2022, потому что 1 – 2028 + 5 = -2022. Найдите сумму 100 первых чисел из списка
Саши.
№ 6
В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 110 ручками двух цветов:
красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно
количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным
цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел
записано красным цветом?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены
числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на
верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр
которого оказалось кратно 8. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если
самый левый кубик всегда лежит так, как показано на рисунке, и обозначает старший
разряд числа?
№ 8
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры
четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из
квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу:
склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника
каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть
разных цветов. Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким
образом? Выберите все подходящие варианты.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
7 класс Вариант 2
№ 1
На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 44 минуты, а на поле
одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер
команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени.
Сколько времени каждый игрок должен провести на поле, если количество замен не
ограничено?
№ 2
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 280 \, \text{см}^2. Точка O — центр
квадрата, а точка M — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
№ 3
На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог
нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут,
встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан.
Антон сказал: «Иван — лжец!».
Иван сказал: «Пётр — рыцарь!».
Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Богдана и Антона один человек рыцарь, а другой
лжец».
Богдан сказал: «Антон — лжец!».
Кем является каждый из собеседников?
№ 5
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке
равно 2027, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего
записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число
равно – 2021, потому что 1 – 2027 + 5 = -2021. Найдите сумму 100 первых чисел из списка
Саши.
№ 6
В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 107 ручками двух цветов:
красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно
количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным
цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел
записано красным цветом?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены
числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на
верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр
которого оказалось кратно 9. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если
самый левый кубик всегда лежит так, как показано на рисунке, и обозначает старший
разряд числа?
№ 8
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры
четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из
квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу:
склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника
каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть
разных цветов. Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким
образом? Выберите все подходящие варианты.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
7 класс Вариант 3
№ 1
На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 68 минут, а на поле
одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер
команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени.
Сколько времени каждый игрок должен провести на поле, если количество замен не
ограничено?
№ 2
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 240 \, \text{см}^2. Точка O — центр
квадрата, а точка M — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
№ 3
На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог
нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут,
встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан.
Пётр сказал: «Антон — лжец!».
Антон сказал: «Богдан — рыцарь!».
Богдан сказал: «Я знаю точно, что в паре Петра и Ивана один человек рыцарь, а другой
лжец».
Иван сказал: «Пётр — лжец!».
Кем является каждый из собеседников?
№ 5
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке
равно 2026, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего
записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число
равно —2020, потому что 1 — 2026 + 5 = —2020. Найдите сумму 100 первых чисел из
списка Саши.
№ 6
В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 101 ручками двух цветов:
красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно
количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным
цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел
записано красным цветом?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены
числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на
верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр
которого оказалось кратно 27. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если
самый левый кубик всегда лежит так, как показано на рисунке, и обозначает старший
разряд числа?
№ 8
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры
четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из
квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу:
склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника
каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть
разных цветов. Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким
образом? Выберите все подходящие варианты.
8 КЛАСС Вариант 1
№ 1
Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась
в два раза быстрее подруги и прошла в пять раз большее расстояние, чем Валя. Прогулка
Али заняла на 45 минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ
выразите в минутах.
№ 2
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести
прямых было выбрано ненулевое чётное количество точек.
№ 3
В треугольнике ABC угол B равен 152^\circ, а высота, опущенная из вершины A, в два раза
меньше биссектрисы угла A. Найдите угол C. Ответ выразите в градусах.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
Таблицу 5 × 5 разбили на 7 частей по линиям сетки так, чтобы клетки внутри одного
фрагмента граничили только по горизонтали или по вертикали. В каждой части в одной из
клеток написали количество клеток в этом фрагменте. Отметьте на изображении все
клетки фрагмента, содержащего выделенную зелёным клетку.
№ 5
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые
встали лицом вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой
в колонне в направлении его взгляда. Известно, что: Дусь никто не видит; Беня не видит
Гешу, но видит Веню; Геша видит Беню, но не видит Алю; Веня не видит никого; Аля стоит
раньше Вени, но не видит его. Определите порядок, в котором стоят дети.
№ 6
Вася задумал три вещественных числа a, b, c. Оказалось, что три прямые, заданные
уравнениями y = ax + 5, \, y = bx + 7 \, и \, y = cx + 9, пересекаются в одной точке. Найдите
значение b, если известно, что a + c = 39.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X,
для которой AB = BX \, и \, AX = XC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BXC равен
117^\circ? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ
записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
№ 8
В турнире онлайн-игры участвуют 256 персонажей. В каждом из 8 раундов персонажи
разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально
уровни персонажей были равны 1, 2, \ldots, 256. В битве всегда побеждает персонаж с
бо́льшим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура
уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться
прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
8 класс Вариант 3
№ 1
Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась
в два раза быстрее подруги и прошла в полтора раза большее расстояние, чем Валя.
Прогулка Али заняла на 35 минут меньше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла
Аля? Ответ выразите в минутах.
№ 2
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести
прямых было выбрано ненулевое чётное количество точек.
№ 5
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые
встали лицом вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой
в колонне в направлении его взгляда. Известно, что: Алю никто не видит; Беня не видит
Веню, но видит Гешу; Веня видит Беню, но не видит Дусю; Геша не видит никого; Дуся
стоит раньше Геши, но не видит его. Определите порядок, в котором стоят дети.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 6
Вася задумал три вещественных числа a, b, c. Оказалось, что три прямые, заданные
уравнениями y = ax + 1, y = bx + 6 и y = cx + 11, пересекаются в одной точке. Найдите
значение b, если известно, что a + c = 73.
№ 7
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X,
для которой AB = BX и AX = XC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BXC равен
138^\circ? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ
записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
№ 8
В турнире онлайн-игры участвуют 512 персонажей. В каждом из 9 раундов персонажи
разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально
уровни персонажей были равны 1, 2, \ldots, 512. В битве всегда побеждает персонаж с
большим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура
уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться
прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
9 КЛАСС Вариант 1
№ 1
Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 25
% и 40 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить,
чтобы получилась смесь с 40 % красной, 30 % зелёной и 30 % синей красок? Синюю
краску добавлять нельзя.
№ 2
В таблице 6 \times 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки
написали, сколько клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке
свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху,
а также отметки в клетках стёрли. Найдите количество отмеченных клеток. Восстановите
числа, которые были записаны сверху.
№ 3
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как
показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами
треугольников равны 3\sqrt{3}. Найдите разность периметров этих треугольников.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются
следующие условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе
сумма чисел делится на 3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей
суммы. Какие числа в какой группе?
№ 5
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C,
пересекает гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C,
пересекает гипотенузу в точке D. Найдите ED, если AD = 15, BE = 30.
№ 6
В квадрате 5 \times 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу,
так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей
совпали. Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в
отмеченных клетках?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Натуральные числа a, b таковы, что число \frac{9a + 10b}{a + 2b} — тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение \frac{a}{b}? Укажите все подходящие варианты. Каждый
ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
№ 8
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на
областной чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У
каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом
матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них
побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения,
она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и
тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда
судьба каждой команды будет определена. Сколько команд попадёт на областной
чемпионат? Сколько будет сыграно матчей?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
10 КЛАСС Вариант 1
№ 1
Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух
последних цифр оно уменьшается ровно в 115 раз.
№ 2
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем
остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 80400 рукопожатий.
Сколько было пар?
№ 3
Последовательность целых чисел \{x_n\} такова, что x_1 = 1300 и x_{n+1} = |x_n – 7| для всех
n > 1. Найдите такое минимальное n, что x_{n+2} = x_n.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
На праздновании Нового года 46 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из
школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок
одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого
уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок,
обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло
получить подарки? Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
№ 5
В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что \angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AB
= 7, BC = 5. Найдите CD.
№ 6
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих, а восьмой член равен 2613. Сколько существует таких
последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен
13?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной
окружности параллельна биссектрисе угла ABC. При этом ∠ABD = 10^\circ и ∠DBC =
92^\circ. Найдите ∠BCA. Ответ выразите в градусах.
№ 8
В ряд стоят 32 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 32. В ящиках с
нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию
разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и
переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать
невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог
закончиться процесс? Через какое максимальное количество операций мог закончиться
процесс?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
10 класс Вариант 2
№ 1
Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух
последних цифр оно уменьшается ровно в 113 раз.
№ 2
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем
остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 20200 рукопожатий.
Сколько было пар?
№ 3
Последовательность целых чисел \{x_n\} такова, что x_1 = 1000 и x_{n+1} = |x_n – 7| для всех
n > 1. Найдите такое минимальное n, что x_{n+2} = x_n.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
На праздновании Нового года 40 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из
школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок
одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого
уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок,
обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло
получить подарки? Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
№ 5
В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что \angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, \,
AB = 5, \, BC = 3. Найдите CD.
№ 6
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих, а восьмой член равен 650. Сколько существует таких
последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен
13?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной
окружности параллельна биссектрисе угла ABC. При этом ∠ABD = 13^\circ и ∠DBC =
93^\circ. Найдите ∠BCA. Ответ выразите в градусах.
№ 8
В ряд стоят 24 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 24. В ящиках с
нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию
разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и
переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать
невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог
закончиться процесс? Через какое максимальное количество операций мог закончиться
процесс?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
10 класс Вариант 3
№ 1
Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух
последних цифр оно уменьшается ровно в 114 раз.
№ 2
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем
остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 80400 рукопожатий.
Сколько было пар?
№ 3
Последовательность целых чисел \{x_n\} такова, что x_1 = 1400 и x_{n+1} = |x_n – 11| для
всех n > 1. Найдите такое минимальное n, что x_{n+2} = x_n.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
На праздновании Нового года 43 школьника встали в хоровод. Каждую минуту один из
школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок
одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого
уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок,
обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло
получить подарки? Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
№ 5
В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что \angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, \,
AB = 4, \, BC = 3. Найдите CD.
№ 6
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих, а восьмой член равен 3900. Сколько существует таких
последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен
13?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной
окружности параллельна биссектрисе угла ABC. При этом ∠ABD = 12^\circ и ∠DBC =
96^\circ. Найдите ∠BCA. Ответ выразите в градусах.
№ 8
В ряд стоят 20 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 20. В ящиках с
нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию
разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и
переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать
невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог
закончиться процесс? Через какое максимальное количество операций мог закончиться
процесс?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
11 КЛАСС Вариант 1
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 11, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
+ a_8 = 164. Найдите a_1. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab} . С какой вероятностью это число делится
на 3? Выражение \overrightarrow{ab} обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и
b.
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 51^\circ и
угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 2 : 5. Найдите угол AFD. Ответ
выразите в градусах. Найдите величину малой дуги BC. Ответ выразите в градусах.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 100 и
\lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lceil \sqrt{b} \rceil = \lceil \sqrt{a} \rceil + \lfloor \sqrt{b} \rfloor. Напомним,
что [x] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а [x] — наименьшее
целое число, большее или равное x.
№ 5
Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 \times 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из
двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси
ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение
корней второго трёхчлена.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 12, треугольника ACC_1 – 24. Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 31. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы a букву c;
приписывает сразу перед буквой b букву c; приписывает сразу после буквы c ещё одну
букву c; стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут,
получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных
последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить Петя?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
11 класс Вариант 2
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 9, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots +
a_8 = 108. Найдите a_1. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab} . С какой вероятностью это число делится
на 3? Выражение \overrightarrow{ab} обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и
b.
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 52^\circ и
угловые меры дуг \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} находятся в соотношении 1 : 4.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах. Найдите величину малой дуги
\overrightarrow{BC}. Ответ выразите в градусах.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 64 и
\lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lceil \sqrt{b} \rceil = \lceil \sqrt{a} \rceil + \lfloor \sqrt{b} \rfloor. Напомним,
что [x] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а [x] — наименьшее
целое число, большее или равное x.
№ 5
Дана колода из 1200 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 1200
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 × 400 (3 строки, 400 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 4, а один из
двух корней второго трёхчлена равен —4. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (5, 8), а вторая лежит на оси
ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение
корней второго трёхчлена.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 1, треугольника ACC_1 — 34. Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 46. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы a букву c;
приписывает сразу перед буквой b букву c; приписывает сразу после буквы c ещё одну
букву c; стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 11 минут,
получив последовательность из 12 букв, Петя останавливается. Сколько различных
последовательностей из 12 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить Петя?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
11 класс Вариант 3
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 10, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
+ a_8 = 88. Найдите a_1. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 5. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab} . С какой вероятностью это число делится
на 3? Выражение \overrightarrow{ab} обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и
b.
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 48^\circ и
угловые меры дуг \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} находятся в соотношении 3:7.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах. Найдите величину малой дуги
\overrightarrow{BC}. Ответ выразите в градусах.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 81 и
\left[ \sqrt{a} \right] + \left[ \sqrt{b} \right] = \left[ \sqrt{a} \right] + \left[ \sqrt{b} \right]. Напомним,
что \left[x\right] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а \left[x\right] —
наименьшее целое число, большее или равное x.
№ 5
Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 \times 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 2 и 4, а один из
двух корней второго трёхчлена равен -3. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая лежит на оси
ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение
корней второго трёхчлена.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 2, треугольника ACC_1 — 37. Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 43. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы a букву c;
приписывает сразу перед буквой b букву c; приписывает сразу после буквы c ещё одну
букву c; стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 15 минут,
получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько различных
последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить Петя?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
—
11 класс Вариант 4
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 14, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
+ a_8 = 104. Найдите a_1. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 3, 4, 6. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab}. С какой вероятностью это число делится
на 3? Выражение \overrightarrow{ab} обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и
b.
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 53^\circ и
угловые меры дуг \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} находятся в соотношении 1 : 4.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах. Найдите величину малой дуги
\overrightarrow{BC}. Ответ выразите в градусах.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 144 и
\lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lceil \sqrt{b} \rceil = \lceil \sqrt{a} \rceil + \lfloor \sqrt{b} \rfloor. Напомним,
что \lfloor x \rfloor обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а \lceil x \rceil
— наименьшее целое число, большее или равное x.
№ 5
Дана колода из 900 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 900
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 \times 300 (3 строки, 300 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 3, а один из
двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (4, 6), а вторая лежит на оси
ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение
корней второго трёхчлена.
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 2, треугольника ACC_1 – 37. Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 43. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы a букву c;
приписывает сразу перед буквой b букву c; приписывает сразу после буквы c ещё одну
букву c; стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 13 минут,
получив последовательность из 14 букв, Петя останавливается. Сколько различных
последовательностей из 14 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить Петя?
<a href=”http://t.me/m/HVqYDuFoODAy/”> правильный ответ </a>
Оставить комментарий