Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ СтатГрад 11 класс 1 октября 2025 года
Вариант МА2510109
(профильный уровень) Ответы на эту и другие работы вы можете получить у Дмитрия 24/7 @egeiiii или в телеграм канале (ТЫК)
Инструкция по выполнению работы
Работа по математике состоит из двух частей, включающих в себя
19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и
повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым
ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или
конечной десятичной дроби.
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение на
отдельном листе бумаги.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать
наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
Справочные материалы
=
⋅
sin2α 2sinα cosα
2
2
cos2α = cos α − sin α
+=
sin (α β) sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ
+=
cos (α β) cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
Математика. 11 класс. Вариант МА2510109
2
Часть 1
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная
десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте
работы.
1
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
. Найдите радиус окружности,
+
равны 30 15 2
вписанной в этот треугольник.
Ответ: _ Ответы на эту и другие работы вы можете получить у Дмитрия 24/7 @egeiiii или в телеграм канале (ТЫК)
y
Найдите
.
+
2
(
ab)2
6
4
x
0
2
8
Ответ: ___________________________.
3
Найдите площадь поверхности прямой призмы,
в основании которой лежит ромб с диагоналями,
равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 2.
Ответ: ___________________________.
4
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос
не подтекает.
Ответ: ___________________________.
Математика. 11 класс. Вариант МА2510109
3
5
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки.
Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше чем 810 г, равна
0,95. Вероятность того, что масса окажется больше чем 790 г, равна 0,91.
Найдите вероятность того, что масса буханки больше чем 790 г, но меньше
чем 810 г.
Ответ: ___________________________.
6
Найдите корень уравнения 3
x−=5 .
5
Ответ: ___________________________.
log 20
2
7
Найдите значение выражения
+ log110,05 .
log 11
2
Ответ: ___________________________.
8
На рисунке изображён график функции
y f=
( x), определённой на интервале
(−1; )10 . Определите количество точек, в которых производная функции
f ( )x равна 0.
y
1
− 1
x
0
10
Ответ: ___________________________.
© СтатГрад 2025−2026 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Математика. 11 класс. Вариант МА2510109
4
9
Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли.
2v 0 sinα
. При
Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле
t =
g
каком значении угла α (в градусах) время полёта составит 1,6 секунды, если
мяч бросают с начальной скоростью 0 16v= м/с? Считайте, что ускорение
свободного падения g равно 10 м/с 2 .
Ответ: ___________________________.
10
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую
половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью на 32 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл
в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: ___________________________.
y
11
На рисунке изображён график функции
2 2
−
.
( )
f x = − x bx c++ . Найдите значение (
f 2)
1
x
0 1
Ответ: ___________________________.
338
12
Найдите точку максимума функции
+ .
yx
= +26
x
Ответ: ___________________________.
© СтатГрад 2025−2026 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Математика. 11 класс. Вариант МА2510109
5
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте отдельный
лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а
затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте
чётко и разборчиво.
13
а) Решите уравнение
π
xx
−
+ − 7 0=.
2cos2 12cos
2
3π
−3π;
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку−
2
14
На ребре A 1A прямоугольного параллелепипеда ABCDA BC D взята точка
11 1 1
BC .
E так, что 1 :
A E EA = 5: 2. Точка T — середина ребра 11
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью E 1TD является
трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью
E 1TD и плоскостью 11 1ABC , если
известно, что A 32B=
A =
, A 4D= , A 1 14 .
−
35 319 1
x
15
.
≤
5
Решите неравенство x−− 2
− 9
−
+
14 45
xx x
16
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму,
имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту
сумму на 22 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее
натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при
котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
© СтатГрад 2025−2026 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Математика. 11 класс. Вариант МА2510109
6
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD
17
пересекаются в точке .O Через точку O провели прямую, параллельную
основаниям BC и AD , и пересекающую боковые стороны AB и CD
в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой
стороне.
C и данная прямая
б) Найдите длину основания AD , если AO CO
, B 31
:
делит сторону AB в отношении AM MB 4:5.
18
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
4
2
2
9 4 5 2 2 2
3 4
x x x a x a x x a
имеет ровно три различных корня.
19
Пусть Sn обозначает сумму цифр натурального числа n .
2n S n 2026 ?
а) Существует ли такое число n , что
б) Существует ли такое число n , что 4n S n 2026 ?
в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно
9kn S n 10 542?
такое двузначное число n , что
© СтатГрад 2025−2026 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного
согласия СтатГрад запрещена
Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ
11 класс
1 октября 2025 года
Вариант МА2510110
(профильный уровень)
Выполнена: ФИО_________________________________ класс ______
Инструкция по выполнению работы
Работа по математике состоит из двух частей, включающих в себя
19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и
повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым
ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или
конечной десятичной дроби.
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение на
отдельном листе бумаги.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать
наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
Справочные материалы
=
⋅
sin2α 2sinα cosα
2
2
cos2α = cos α − sin α
+=
sin (α β) sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ
+=
cos (α β) cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
Математика. 11 класс. Вариант МА2510110
2
Часть 1
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная
десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте
работы.
1
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
. Найдите радиус окружности,
+
равны 62 31 2
вписанной в этот треугольник.
Ответ: ___________________________.
y
2
Найдите
.
−
(
ab)2
6
4
x
0
2
8
Ответ: ___________________________.
3
Найдите площадь поверхности прямой призмы,
в основании которой лежит ромб с диагоналями,
равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 3.
Ответ: ___________________________.
4
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос
не подтекает.
Ответ: ___________________________.
Математика. 11 класс. Вариант МА2510110
3
5
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки.
Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше чем 810 г, равна
0,97. Вероятность того, что масса окажется больше чем 790 г, равна 0,94.
Найдите вероятность того, что масса буханки больше чем 790 г, но меньше
чем 810 г.
Ответ: ___________________________.
6
Найдите корень уравнения 3 78x+= .
Ответ: ___________________________.
log 2
9
7
Найдите значение выражения
+ log5 0,5 .
log 5
9
Ответ: ___________________________.
8
y f=
На рисунке изображён график функции
( x), определённой на интервале
(−4; )8. Определите количество точек, в которых производная функции ( )fx
равна 0.
y
1
− 4
x
0
8
Ответ: ___________________________.
Математика. 11 класс. Вариант МА2510110
4
9
Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли.
2v 0 sinα
Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле
. При
t =
g
каком значении угла α (в градусах) время полёта составит 5,6 секунды, если
мяч бросают с начальной скоростью 0 28v= м/с? Считайте, что ускорение
свободного падения g равно 10 м/с 2 .
Ответ: ___________________________.
10
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую
половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл
в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: ___________________________.
y
11
На рисунке изображён график функции
−
.
2 2
f x = x bx c++ . Найдите значение (
f 6)
( )
1
x
0 1
Ответ: ___________________________.
400
12
Найдите точку максимума функции
= ++ .
yx 15
x
Ответ: ___________________________.
Математика. 11 класс. Вариант МА2510110
5
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте отдельный
лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а
затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте
чётко и разборчиво.
13
а) Решите уравнение
3π
xx
−
2cos2 16cos
9 0.
+ −=
2
3π
;3π .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2
14
На ребре A 1A прямоугольного параллелепипеда ABCDA BC D взята точка
11 1 1
A E EA =
BC .
E так, что 1 : 2:1. Точка T — середина ребра 11
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью E 1TD является
трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью
E 1TD и плоскостью 11 1ABC , если
известно, что A 22B=
A = .
, A 7D= , A 1 6
−
63 700
x
1
15
.
≤
4
Решите неравенство x−− 2
x −11
x −+
15 44
x
16
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 30 % сумму,
имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту
сумму на 35 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее
натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при
котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Математика. 11 класс. Вариант МА2510110
6
17
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD
пересекаются в точке .O Через точку O провели прямую, параллельную
основаниям BC и AD , и пересекающую боковые стороны AB и CD
в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой
стороне.
, B 17C= и данная прямая
б) Найдите длину основания AD , если AO CO=
делит сторону AB в отношении AM : MB = 3: 4.
18
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
2
42 +− − a
4x + 3x
6x 5 2 2
2x + 5
(
) a( x − a) = x
имеет ровно три различных корня.
19
Пусть ( )Sn обозначает сумму цифр натурального числа n .
а) Существует ли такое число n , что
8n Sn ()+=2024 ?
б) Существует ли такое число n , что +=2024 ?
7n Sn ()
в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно
9kn S+= ?
15 671
такое двузначное число n , что
(n)
Оставить комментарий